破解哥德巴赫猜想（三）

吴  志

   

【提要】《破解哥德巴赫猜想（二）》发出两天自己就发现有漏洞，虽然不是颠覆性的错误，打个补丁就可以了，但也不够完美。主要问题是按此文的方法寻找质数，找出来的不完全是质数，大概有百分之几是合数，不过所有质数都能找出来，即每个自然数都能匹配三个质数，这意味着哥德巴赫猜想得到证实。看来证明哥德巴赫猜想的关键是寻找质数，如果连质数都找不出来，这道数学题就很难得到证明了，这是所有数学家都不能证明哥德巴赫猜想的原因所在。如果没有正确的方法，即使要找出自然数100万以下的质数，也是很困难的

哥德巴赫猜想自从1742年提出来后，国内外许多聪明绝顶的数学家试图证明，但历经281年仍未能证明。要证明哥德巴赫猜想有几种方式：一是人工方法。为所有自然数都拆解出三个质数，由于自然数有无数个，这无法做到。二是计算机方法。用计算机为所有自然数拆解出三个质数，虽然计算机运算速度极快，也无法为所有自然数拆解出三个质数，此路不通，也没人这样做。三是数学推导。从已知的数学原理和公式，推导出哥德巴赫猜想成立，有无数个数学家做了281年还解不开这道题。四是数学模型。建立一个数学模型，给出某些规则、公式和算法，经过几个简单步骤，就能自动为每个自然数拆解出三个质数，无论人工验证或计算机验证，都确实走得通。就像铺设了一条轨道，让所有火车在上面跑，都能跑到终点。这样就不需要把所有自然数都做出来了，所有人都相信顺着轨道火车能到达终点。就像你发明出一个数学模型：飞行距离＝恒定光速×永恒时间(直线飞行)，按照这个模型飞船就能飞到宇宙尽头。

这篇论文采用第四种方法，能巧妙地为任何一个自然数拆解出三个质数，并为所有自然数列出符合要求的哥德巴赫猜想等式。也就是说，这套规则、公式和算法能自动完成一切，这样就证明哥德巴赫猜想成立了，把哥德巴赫猜想变成了定理和公式。

1.审题

①哥德巴赫猜想的意思是，任何一个自然数都能写成三个质数之和，给每个自然数找出三个对应的质数并不难，难的是自然数有无数个，这项工作没完没了，必须在数学上证明这个猜想是正确的，把猜想变成公式和定理。

②哥德巴赫猜想没有要求把所有符合要求的等式都写出来，只要能为每个自然数写出一个符合要求的等式就可以了，也就是说只要写出符合条件的三个质数就成，这样难度就小很多了。

2.明确几个数学概念

①原版哥德巴赫猜想：任何一个大于2的整数都可以写成三个质数之和。当时数学界把1视为质数。

②新版哥德巴赫猜想：任何一个大于5的整数都可以写成三个质数之和。现代数学界不把1视为质数。

③质数（也叫素数）：在大于1的自然数中，除了1和本身，不再有其他因素的自然数。

④合数：除了质数以外的数，不含1，即除了1和本身，还能被其他数整除的数。

⑤因素：指整数a和整数b（b≠0）的商正好是整数而没有余数。

⑥奇数：不能被2整除的数，即单数。

⑦偶数：能被2整除的数，即双数。   

3.用过筛法寻找质数：

以下是寻找质数的方法与步骤：

1.剔除1。

2.剔除所有偶数（双数）。

3.剔除尾数是5的数。经三次剔除，剩余数：一位数是3、7、9，由于能被3整除就能被9整除，因而只剩下3、7；两位及以上的数，尾数是1、3、7、9的数。这些数覆盖全部质数了，但其中一些是合数。

4.剩余数除以3、7，能整除的剔除。也就是说，3或7有可能是某个自然数的因数，如21能被3或7整除，就不是质数了。

5.剩余数除以尾数是1、3、7、9的数y，包括两位数、三位数和多位数，直到y大于商z，能整除的剔除。因为有些尾数是1、3、7、9的数，看起来像质数，但能被两位、三位或多位数的y整除。如527能被17或31整除，529能被23整除，533能被13或41整除，481能被13或37整除。如果每十位数算是一轮，几轮之后某些数又能被尾数是1、3、7、9的数整除了，把有可能成为因数的都除一遍，假质数就被筛出来了。

总的来说，有可能成为因数的：一位数不是0、1、2、4、5、6、8，只能是3、7、9；两位及以上数不是尾数是0、2、4、5、6、8的数，只能是尾数是1、3、7、9的数。

经过以上五轮过筛，剩余的就是质数了，确信无疑是质数。换句话说，x除以尾数是1、3、7、9的数y，一直除到y＞z为止，都不能整除的，x就是质数。为什么y＞z就不除了呢，再除就重复除了，只是y与z互换位置而已。需要除的两位及以上数是：

11、13、17、19

21、23、27、29

31、33、37、39

41、43、47、49

51、53、57、59

61、63、67、69

71、73、77、79

81、83、87、89

91、93、97、99

101、103、107、109

111、113、117、119

121、123、127、129

131、133、137、139

……

依此类推，直至无穷。比较小的数用人工计算并不难，比较大的数用计算机计算也不难。比如自然数1821的第五次过筛：

1821÷11＝165.5

1821÷13＝140.1

1821÷17＝107.1

1821÷19＝95.8

1821÷21＝86.7

1821÷23＝79.1

1821÷27＝67.4

1821÷29＝62.7

1821÷31＝58.7

1821÷33＝55.1

1821÷37＝49.2

1821÷39＝46.6

1821÷41＝44.4

1821÷43＝42.3（y＞z）

我用手机计算，不用一分钟就完成第五轮过筛了，可见并不难，更大的数用计算机来算也很简单。1821经过五轮过筛，证实是质数，可以作为为自然数匹配的质数。要为某个自然数列出哥德巴赫猜想等式，只需找出三个质数，这是简单的事情；要为所有自然数列出哥德巴赫猜想等式，这是做不到的事情，因为自然数无穷无尽，只要有了寻找质数的方法步骤就可以了。

4.先找出1000以内的质数（红色为非质数，除了1都是合数）：

黑色数字是质数，在1000以内的自然数中，质数有169个，占16.9%；在两个质数之间，间隔为1、3、5、7、9、11、13、17个数，最少是1个数，最多是17个数，没发现有15，可能在1000以上的数会出现；除了2和3两个特殊质数外，没有相连的两个质数。整理后得到一个《质数表》，表中列出了1000以下的质数，共169个：

2 3 5 7

11 13 17 19

23 29 31 37 41 43 47 53 59

61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109

113 127 131 137 139 149 151 157 163 167

173 179 181 191 193 197 199 211 223 227

229 233 239 241 251 257 263 269 271 277

281 283 293 307 311 313 317 331 337 347

349 353 359 367 373 379 383 389 397 401

409 419 421 431 433 439 443 449 457 461

463 467 479 487 491 499 503 509 521 523

541 547 557 563 569 571 577 587 593 599

601 607 613 617 619 631 641 643 647 653

659 661 673 677 683 691 701 709 719 727

733 739 743 751 757 761 769 773 787 797

809 811 821 823 827 829 839 853 857 859

863 877 881 883 887 899 907 911 919 929

937 941 947 953 967 971 977 983 991 997

5.找出1000以内的哥德巴赫猜想等式

要在1000以内的自然数中找出哥德巴赫猜想等式，有了《质数表》就比较容易了：①以自然数X为基准，向下找到质数c。②按X－n＝c公式找出质数c (n≥4，n＝a＋b，a和b是质数)。看起来似乎有点难，数学符号多了就难理解了，做一遍就觉得简单了。

例一：找出自然数681的哥德巴赫猜想等式

解：从质数表查出，比681小4的质数是677，而4＝2＋2，那么哥德巴赫猜想等式就是：

681＝2＋2＋677

例二：找出自然数682的哥德巴赫猜想等式

解：从质数表查出，比682小5的质数是677，而5＝2＋3，那么哥德巴赫猜想等式就是：

682＝2＋3＋677

依此类推，683、684、685、686、687、688、689、690、691、692、693、694的哥德巴赫猜想等式是：

683＝3＋3＋677

684＝2＋5＋677

685＝3＋5＋677

686＝2＋7＋677

687＝2＋2＋683

688＝2＋3＋683

689＝3＋3＋683

690＝2＋5＋683

691＝3＋5＋683

692＝2＋7＋683

693＝3＋7＋683

694＝2＋19＋673

都很简单，那么我们增加难度，在两个质数间隔为17个数的附近拆，如523与541两个质数隔着17个合数，要把544拆成三个质数，拆4-20都不行，拆21就落在523上了，21能拆成2＋19，这样哥德巴赫等式就是544＝2＋19＋523。万一落到523后，拆出的19拆不出两个质数呢？还可以落到521、509、503、499、491、487、479、467、463……2上，有很多种拆法都能拆出三个质数，需要的只是其中一种，自然数越大拆解方案越多，这意味着任何一个自然数都能拆成三个质数。

也就是说，c是往下找小的，n是往上找大的，既可以先找c，也可以先找n，对于a、b、c三个质数，可以是两头大中间小，可以是中间大两头小，还可以是三者相等或相近，这样拆解方案就非常多了，直到把c拆为2都可以。一般来说，c大a、b小的模式比较简单。实际上也不用考虑三个质数的排序，谁先谁后都无所谓。

n是什么数呢？n＝4、5、6、7、8、9、10、12、13、14、15、16、18、19、20、21、22、24、25、26、28、30、31、32、33、34……，在试拆时只要能拆成上面的数字都行，这些数都能拆成两个质数，只要能拆成两个质数的都是n，一直拆下去直至c剩下2，即c＝2。上式c＝523，拆到c＝2时有多少种组合呢？从c的变化来看有九十一种，a与b的变化同样多，加起来是两百七十三种。a、b、c三者动态组合，至少有几百种组合；如果a、b、c相互易位也算新组合，至少有几千种组合。

自然数越大，拆解的组合越多，这就不用担心拆不出三个质数了。比如自然数X为3215214777220036598时，能拆出多少组质数呢？多如牛毛。因此，只要100以下的自然数能拆解为三个质数，那么100以上的质数就一定能拆解为三个质数了，下面我们把6－118的自然数拆解为三个质数，先找出n，从4开始，由小往大找：

6＝2＋2＋2

7＝2＋2＋3

8＝2＋3＋3

9＝2＋2＋5

10＝2＋3＋5

11＝2＋2＋7

12＝2＋3＋7

13＝3＋3＋7

14＝2＋5＋7

15＝2＋2＋11

16＝2＋3＋11

17＝2＋2＋13

18＝2＋3＋13

19＝3＋3＋13

20＝2＋5＋13

21＝2＋2＋17

22＝2＋3＋17

23＝2＋2＋19

24＝2＋3＋19

25＝3＋3＋19

26＝2＋5＋19

27＝3＋5＋19

28＝2＋3＋23

29＝3＋3＋23

30＝2＋5＋23

31＝3＋5＋23

32＝2＋11＋19

33＝2＋2＋29

34＝2＋3＋29

35＝2＋2＋31

36＝2＋3＋31

37＝3＋3＋31

38＝2＋5＋31

39＝3＋5＋31

40＝2＋7＋31

41＝2＋2＋37

42＝2＋3＋37

43＝3＋3＋37

44＝2＋5＋37

45＝2＋2＋41

46＝2＋3＋41

47＝2＋2＋43

48＝2＋3＋43

49＝3＋3＋43

50＝2＋5＋43

51＝2＋2＋47

52＝2＋3＋47

53＝3＋3＋47

54＝2＋5＋47

55＝3＋5＋47

56＝2＋7＋47

57＝3＋7＋47

58＝2＋3＋53

59＝3＋3＋53

60＝2＋5＋53

61＝3＋5＋53

62＝2＋7＋53

63＝2＋2＋59

64＝2＋3＋59

65＝3＋3＋59

66＝2＋3＋61

67＝3＋3＋61

68＝2＋7＋61

69＝3＋5＋61

70＝2＋7＋61

71＝2＋2＋67

72＝2＋3＋67

73＝3＋3＋67

74＝2＋5＋67

75＝2＋2＋71

76＝2＋3＋71

77＝2＋2＋73

78＝2＋3＋73

79＝3＋3＋73

80＝2＋5＋73

81＝3＋5＋73

82＝2＋7＋73

83＝2＋2＋79

84＝2＋3＋79

85＝3＋3＋79

86＝2＋5＋79

87＝2＋2＋83

88＝2＋3＋83

89＝3＋3＋83

90＝2＋5＋83

91＝3＋5＋83

92＝2＋7＋83 

93＝2＋2＋89

94＝2＋3＋89

95＝3＋3＋89

96＝2＋5＋89

97＝3＋5＋89

98＝2＋7＋89

99＝3＋7＋89

100＝2＋19＋79

101＝2＋2＋97

102＝2＋3＋97

103＝3＋3＋97

104＝2＋5＋97

105＝2＋2＋101

106＝2＋3＋101

107＝2＋2＋103

108＝2＋3＋103

109＝3＋3＋103

110＝2＋5＋103

111＝2＋2＋107

112＝2＋3＋107

113＝2＋2＋109

114＝2＋3＋109

115＝3＋3＋109

116＝2＋5＋109

117＝2＋2＋113

118＝2＋3＋113

当X是奇数时，n要拆出偶数；当X是偶数时，n要拆出奇数。这是拆数规律，无论人工拆数，还是计算机拆数，按这个规律来拆就简单很多了。

既然118以下的数都能拆为三个质数，那么118以上的数就更能拆为三个质数了，数越大拆解方案越多。以上各式除了6＝2＋2＋2外，都是一大两小三质数组合，头轻身轻尾重，或头重身轻尾轻也行，或中间重两头轻也行，或头身尾相等或相近也行。可谓组合多多，方案多多，机会多多。像9＝3＋3＋3就是三质数相等。

试找出自然数119的所有哥德巴赫猜想等式，看看有多少种组合：

119＝3＋3＋113

119＝3＋7＋109

119＝5＋5＋109

119＝5＋7＋107

119＝3＋13＋103

119＝5＋11＋103

119＝5＋13＋101

119＝7＋11＋101

119＝3＋19＋97

119＝5＋17＋97

119＝7＋23＋89

119＝11＋19＋89

119＝13＋17＋89

119＝5＋31＋83

119＝7＋29＋83

119＝3＋37＋79

119＝11＋29＋79

119＝17＋23＋79

119＝3＋43＋73

119＝5＋41＋73

119＝17＋29＋73

119＝5＋43＋71

119＝7＋41＋71

119＝11＋37＋71

119＝17＋31＋71

119＝19＋29＋71

119＝5＋47＋67

119＝11＋41＋67

119＝23＋29＋67

119＝5＋53＋61

119＝11＋47＋61

119＝17＋41＋61

119＝7＋53＋59

119＝13＋47＋59

119＝19＋41＋59

119＝23＋37＋59

119＝29＋31＋59

119＝5＋61＋53

119＝7＋59＋53

119＝13＋53＋53

119＝19＋47＋53

119＝23＋43＋53

119＝29＋37＋53

119＝5＋67＋47

119＝11＋61＋47

119＝13＋59＋47

119＝19＋53＋47

119＝29＋43＋47

119＝31＋41＋47

119＝3＋73＋43

119＝5＋71＋43

119＝17＋59＋43

119＝23＋53＋43

119＝29＋47＋43

119＝5＋73＋41

119＝7＋71＋41

119＝11＋67＋41

119＝17＋61＋41

119＝19＋59＋41

119＝31＋47＋41

119＝37＋41＋41

119＝3＋79＋37

119＝11＋71＋37

119＝23＋59＋37

119＝29＋53＋37

概略找了一下，自然数119居然能找出65个质数组合，即能找出65个哥德巴赫猜想等式，为自然数119的55%，而且是不计a、b、c排序的，否则会多三倍。那么千位、万位、十万位、百万位、千万位、亿位的自然数能找到的质数组合就多如牛毛了，数字越大，质数越多，机会越大。

结论：无论是100以下的数，还是100以上的数；无论是1000以下的数，还是1000以上的数，都可以拆成三个质数。实际上，所有大于5的自然数都能拆成三个质数之和，也就是哥德巴赫猜想成立，即X＝a＋b＋c

原版哥德巴赫猜想也成立，只要把1看成质数即可：

3＝1＋1＋1

4＝1＋1＋2

5＝1＋1＋3或5＝1＋2＋2

因此，X＝a＋b＋c成立，即原版哥德巴赫猜想成立，用文字表达：任何一个大于2的整数都可以写成三个质数之和。

6.找出任意自然数哥德巴赫猜想等式

上文是借助《质数表》把自然数拆成三个质数，能不能抛开《质数表》把任何一个自然数都拆成三个质数？当然可以，按下述方式来做就可以了：

c＝X－n

n≥4

n＝a＋b （a和b是质数）

c的因素不能是2、3、5、7、9（即不能被以上数字整除，c＝2、c＝3、c＝5、c＝7时例外），c的因素也不能是尾数为1、3、7、9的数，包括两位数、三位数和多位数。预先剔除偶数、尾数是5的数，剩余数只要不能被3和7整除（被9整除不用考虑，能被3整除就能被9整除），也不能被尾数是1、3、7、9的数整除，这个数就是质数。

无论X有多大，人工拆成三个质数都不难，如果要拆大批自然数，可以借助计算机，按上述方法编程就可以了。至于c的因素不能是2、3、5、7、9和尾数是1、3、7、9的数，可以按以下不等式编程：

c≠2 w（w是倍数，不含1）

c≠3 w（w是倍数，不含1）

c≠5 w（w是倍数，不含1）

c≠7 w（w是倍数，不含1）

c≠9 w（w是倍数）

c≠…1 w(…1指尾数是1的数，w是倍数)

c≠…3 w(…3指尾数是3的数，w是倍数)

c≠…7 w(…7指尾数是7的数，w是倍数)

c≠…9 w(…9指尾数是9的数，w是倍数)

如果计算机不认识…1、…3、…7、…9，那就教它学会识别，这就是数学和计算机科学的进步，对于数学来说以后就多了一个符号…x，表示尾数是某个数的数，数学家和数学界没有什么意见吧？

让计算机过一下筛，筛不掉的就是质数了，没必要让计算机做到无穷大，做到X就可以了，这样计算机内就有一个《质数表》了，它会为你指定的X拆出三个质数。用人工来做呢？无论X有多大，都能在几分钟内拆出三个质数，拆出一位数或两位数作为a＋b不难，剩余数作为c，c不能是偶数，不能尾数是5，不能被3和7整除，也不能被尾数是1、3、7、9的数整除，否则抛弃再拆，按4、5、6、7、8、9、10、12、13、14、15、16、18、19、20、21、22、24、25、26、28、30、31、32、33、34……的数列往上拆，只要拆成上面的数就成功了（即n是上面的数），试拆几次就会成功。作为c的数，偶数或尾数是5一眼就能看出来，剔除不要；剩余数除以3和7，能整除的不要；剩余数除以尾数是1、3、7、9的数，能整除的不要，剩下的就是质数了。可以用手机或计算器算一下，太大的数让计算机来算，这样就很简单了。

本文发明了一套规则、公式和算法，让人工和计算机都能为任何一个自然数匹配出三个质数，这就意味着破解了哥德巴赫猜想，这比任何一种方法都简单、实用和高明。做什么事都是结果最重要，方法是手段，结果是目的，不管白猫黑猫，抓得住老鼠就是好猫。

可以让计算机按本文的规则、公式和算法列出哥德巴赫猜想等式，从X为6开始往上列式，瞬间就可以列出无数个等式了。还可以让计算机连续工作几天、几周、几月、几年，这样被拆解的自然数就接近无穷大了，也就证实哥德巴赫猜想成立。其实，本文已经用数学的方式证明了，文中的规则、方法和公式确实能走得通，是一条能到达无穷远的轨道，不必亲自走到无穷远，这样就不用计算机没完没了地工作了，计算机再强大也走不到无穷远。

有学者认为，随着自然数的增大，质数会无限趋少，最终找不出能与自然数匹配的三个质数，因此哥德巴赫猜想不成立。其实是这个学者的猜想不成立，他猜想质数会无限趋少，但找不到足够证据。几把筛子是相同的，自然数的递增是有规律的，都是用那几个数来除，因而质数的分布是大体相同的，不可能越来越少。况且，自然数越大，能拆解的质数就越多。无论自然数有多大，都能找到三个适配的质数，哥德巴赫猜想在任何情况下都成立。

有学者认为，哥德巴赫猜想是数学游戏，没有任何实际意义。数学就是研究数字与数字之间的关系，如1＋1＝2就是数字与数字之间的关系，虽然数学也研究平面几何和立体几何，但归根结底是研究数字关系，如圆周率3.14，就是周长与直径的关系。哥德巴赫猜想是研究自然数与质数的关系，也涉及到自然数与合数，质数与合数之间的关系，这有无意义呢？如果说没有意义就等于说数学没有意义。数与数之间的关系，说不定什么时候就用得上了，也许是现在，也许是将来，肯定是有用的。

所有数学猜想都是数学游戏，前人没能证明，把问题遗留下来，后人的证明就是做游戏，一旦得到证明就是公式和定理了，说不定在什么时间、什么地点、什么场景就能用得上。科学往往是从猜想到定理和规律的，得到证明之前是猜想，得到证明之后是定理和规律。质数的占比规律、排列规律和间隔规律，也是有实际意义的，在科研、技术、生产、分配和布阵中，可以按质数或合数的分布规律进行排列组合。质数是不能拆分的，合数是能够拆分的，能被什么数拆分是固定的，这怎么没有意义呢？这篇论文揭示的一些数学新方法，也是有实际意义的。比如，发现了质数占自然数的16.9%左右（这意味着合数占83.1%左右），发明了寻找质数的方法等。随着大数据的广泛应用，以后会有许多场景用得上哥德巴赫猜公式和定理，或者用得上本文发现和发明的数学规律和数学方法。

比如，七个宇航员所在的月球基地发生小型爆炸事故，活着的人估计有七人或三人，需要从地球补给维生物资，补多了要耗费巨额费用，补少了又怕不够用，最少补给量是每人3份，这样就可以取3与7的合数21人份，每人3份基本能坚持到飞船来救援，每人7份坚持的时间就更充裕了，即使一艘救援飞船发射失败，还可以等待第二艘。有些实际应用数字比较大，大到百、千、万、十万、百万位，甚至一亿、十亿、百亿、千亿位，就要用本文的方法寻找合数了。

比如，将来要在月球布设较多的科学考察基地，可以按月球的经纬度划区，按17个质数的分布规律布点，有疏有密，有远有近，就等于在月球布设100个点了，在某种程度实现了月面全覆盖。在太阳系布局和银河系布局也可以这样。

比如，取样调查也可以用质数法，调查自然数中的16.9%质数，就视为代表全部了。1953年美国数学家J.基弗提出了0.618优选法（黄金分割法），后来华罗庚在中国大力推广，这是用最少的试验得出最佳结果。16.9%质数法也可以作为试验、调查的优选法，以不足五分之一的试验和调查获得百分之百的结果。

古人研究天文、地理、数学、物理、化学、生物和草本，看似没有什么意义，至少在当时看不到意义，随着时间的推移，时代的变迁，实际意义就突显出来了，风物长宜放眼量。万有引力有什么意义？物种起源有什么意义？地心说与日心说有什么意义？当时都看不出意义，只是人类对客观世界有了新的认识。科学有两种，一种是基础科学，一种是应用科学，应用科学立竿见影，影响具体事件，解决具体问题；基础科学慢慢释放能量，影响整个世界，造福世世代代。

放大来看，唐诗宋词有什么意义？不就是文字游戏吗？实际上是中华文化的组成部分，可以让文字的使用和表达更简明准确、丰富多彩，没有语文的发展就没有人类的一切文明。唐诗宋词还具有凝结华人的作用，大家都是听、念、背唐诗宋词长大的，很自然就认为是一家人了。同样，普通话和乡音也具有同样作用；书籍、报刊、电视、电影、视频和网络等，也具有同样作用。中国人破解了哥德巴赫猜想，也是中国人的荣誉和自豪，会让中华民族产生更大的凝聚力。

2024年1月9日